追記:対称性の活用法をコメントで教えていただきました。それを採用すると本稿の結果よりもかなり高速になります(10分→2分30秒。解を数えるだけなら約90秒)。(コード。本文にはまだ反映していません。)
筑波大学のスパコン「T2K-Tsukuba」で約2時間36分かけて5×5の魔方陣(≠魔法陣)の全解を求めたというニュースがありました。
「スパコン」ではなく「パソコン」だったらどうなのだろう、と思って試してみたら、10分でした(Core i7 4930K)。
解の「数」がわかればいいだけ、つまり全解をディスクに書き出さなくてももいいならもう少し早くなります。
コードはこちら(最初のバージョン)。頭の悪そうなコードですが、スクリプトで生成した枠組みを手直しして作れば、そんなに大変ではないかと。理想は全自動生成ですが。Visual Studio 2013 ExpressとICC 14.0.2、GCC 4.6.3、Clang 3.4で動作を確認しています。ClangはOpenMPに対応させるのが面倒なうえに、ちょっと試したところでは、GCCより遅かったです。(実際に試す場合は、OpenMPを有効にしてください。計算中のCPU使用率は100%になるはずです。)
多重for文(笑)ですべての場合を探索するというのが基本方針ですが、それではさすがに終わらないので、次のような工夫をします(工夫というほどのものではありませんが)。
- 各行・各列・対角線の和は65。(1から25までの和 / 5)
- (カンで)効率が良くなりそうなところから順番に埋めていく(下図の番号順)。
- 回転と裏返しで同一になるものを重複して数えないように、下図の緑部分に、「左上<右上<左下」かつ「左上<右下」のような制約を入れる。左上は22以下としてよい。
- a+b+c+d+eのうち、a,b,c,dが決まったら、e=65-a-b-c-dになる(下図の紫部分)。
- a+b+c+d+eのうち、a,b,cが決まったら、dはmax(1,65-a-b-c-25)からmin(25,65-a-b-c-1)の範囲で調べればよい。max(un,65-a-b-c-ux)からmin(ux,65-a-b-c-un)にするとさらに速くなる(unは未使用の最小数,uxは未使用の最大数。これを調べるのに時間をかけると効果はなくなる)。
この方針の場合、ループを関数で表現したり、盤面をコンテナで表現したりすると遅くなります。
数を埋める順番
6 |
10 |
11 |
12 |
8 |
20 |
1 |
18 |
2 |
21 |
22 |
13 |
5 |
16 |
23 |
24 |
3 |
19 |
4 |
25 |
9 |
14 |
17 |
15 |
7 |
魔方陣の解の列挙は並列化しやすそうな問題ですが、ここでの方針では、探索効率を上げるためには条件分岐が不可欠なので、(「数」を求めるだけだとしても)GPGPUでうまくやる方法がわかりません。そこで、CPUに載っているコアのみで並列化します(Xeon Phiなら簡単なのでしょうか→追記参照)。
一番外側の、0から(1<<25)-1まで変化する変数iのループをOpenMPで並列化します(schedule(guided)
では遅くなります。schedule(auto)
はVisual C++でサポートされたら試します)。変数iは上の図の緑の部分(カンで5個にしました)を各数5ビットで表現し、つなげたものです。マスに入りうる数は1から25までなので、5ビットというのはちょっと冗長ですが、とりあえずはよしとしましょう。
出力はバイナリ形式で、1つの解に25バイト使います(1つのマスに入る数を1バイトで表現する)。これもちょっと冗長ですが、テキスト形式よりは小さくて速いはずなので、とりあえずはよしとしましょう。
解は全部で2億7530万5224個、1つの解を25バイトで表現するので、(スレッド数と同数できる)出力ファイルのサイズの合計は275305224 x 25 = 6882630600バイト(約6.4GB)になります。
最初のバージョンの実行時間は以下の通りです。最終的には、先述の通り、もう少し速くなります。
- Core i7 4930K(12スレッド・出力先はRAMディスク)
-
- Windows 7 64 bit, Visual Studio 2013 Express, 593秒(約10分)(ターゲットはx64。
/openmp /Ox /arch:AVX
)
- Fedora 20 64 bit, Intel C++ Compiler 14.0.2, 471秒(約8分)(
-fopenmp -O3 -xHost
)
- Fedora 20 64 bit, GCC 4.8.2, 583秒(約10分)(
-fopenmp -O3 -march=native
)
- Core i7 4700MQ(8スレッド・出力先はSSD)
-
- Windows 7 64 bit, Visual Studio 2013 Express, 1156秒(約20分)(
/openmp /Ox /arch:AVX
)
大森清美『魔方陣の世界』(日本評論社, 2013)(参考文献リストあり・索引あり)を見たら、a+b+c+d+e=65のとき、(26-a)+(26-b)+(26-c)+(26-d)+(26-e)=65なので、解の、すべての数xを(26-x)に置き換えたものもやはり解になるということが載っていました。コメントでご指摘いただいたように、この知識を使って、真ん中のセルに入る数字を1から13までに限定し、そこが13ではない解が見つかったら、すべての数xを(26-x)に置き換えたものも解として出力するようにするとさらに速くなります(同条件でちょうど6分)。
『魔方陣の世界』では、この問題のためのコードも紹介されていますが、並列化されていないこともあって、解の「数」を調べる場合は約5000秒(確認済み)、全解を出力する場合は約3日(未確認)と、あまりふるいません。
この問題は、パソコン・プログラミングに最適の題材である。(p.111)
今日では、5次方陣の総数検索問題は、パソコンに最適な題材となった。(p.124)
パソコンに最適とも、スパコンに不適とも思いませんが、興味深い題材であることは確かです。
追記
- 正解の数(2億7530万5224個)を知っているから速いのか? 正解の数は1981年にはすでに知られていましたが、ここで試した方法では、その知識は使っていません。ディスクの空き容量は小さくてよいことがわかっているとか、下に書くような理由で、正解が既知だと試すのが気楽だということはあります。
- 結果の正しさをどうやって確認したのか? 確認していません。解の数は既知なので、それと同じ数が出てくればまあいいかなと。正しさを確認するためには、(1)得られたものが本当に解であること、(2)結果に重複がないこと、(3)すべての場合を調べていること、の確認が必要です。(1)はループの最も内側で解になっているかどうかをチェックすることによって、(2)は得られた解をハッシュテーブル等に格納することによって確認できますが、ある程度のメモリと時間(上のマシンだと約200秒)が余分に必要です(コード)。(3)はここでは難しいですね。
- アルゴリズム? 穴埋め問題の穴を多重for文(笑)で埋めているだけなので、アルゴリズムというほどのものはありません。(参考:Puzzles for Hackers)
- 10分くらいならやってみようかなという人が、きれいな書き方やGPUで解く方法、効率的な方法を見つけてくれればと思います。(参考:Toy problemsは役立たずか)
- Xeon Phiなら(ほぼ)そのままのコードが動いて、計算は5分で終わるそうです。(スパコンで約2時間36分かかったという、5×5の魔方陣の全解列挙をXeon Phiで試す – パラレルに恋して)