MathematicaのIntegrateのバグ


Mathematica 10.1, 10.2, 10.3, 10.4.1, 11.1.1の積分(Integrate)には,仮定の利用に関して,9.0や10.0には無かったバグがあります。(製造元には報告済みです。)

例として,Abs[(x + 1) (x - a) (x - 1)]-1 <= x <= 1で積分することを考えます。

Absの中にパラメータがaがありますが,これは実数だと仮定します。Integrateには,そういう仮定を与えるための便利なオプションAssumptionsがあります。

Integrate[Abs[(x + 1) (x - a) (x - 1)], {x, -1, 1}, 
 Assumptions -> Element[a, Reals]]

これで,a <= -1なら-4a/3a >= 1なら4a/3,それ以外つまり-1 < a < 1なら(-a^4 + 6a^2 + 3)/6と,aの値で場合分けされた結果が得られます。すばらしい。

しかし,仮定がうまく取り入れられない,取り入れられないならまだしも,仮定を使ったせいで間違った答えが出てきてしまうことがあります。

Integrate[Abs[(x + 1) (x - 2 a + b) (x - 1)], {x, -1, 1}, 
 Assumptions -> And[-1 < a < 1, b == a]]

Mathematicaの一部のバージョンでは1/2という結果になりますが,これは間違いです。b == aという仮定を考慮すると被積分関数は最初の例と同じになるので,積分結果は(-a^4 + 6a^2 + 3)/6にならなければなりません。

どういうわけか,Integrateの中に直接数式を書かなければうまくいきます。

f = Abs[(x + 1) (x - a) (x - 1)];
Integrate[f, {x, -1, 1}, 
 Assumptions -> And[-1 < a < 1, b == a]]

原因はよくわかりませんが,Assumptionsは怖くて使えません。

この積分は,Mathematica 9.0(Windows)や10.0(Raspberry Pi)では正しく行えただけに,10.1でできなくなって残念です。機能追加と品質保持の優先順位が間違っている気がします。

Mathematica の新バージョンには,常に多くの新しい機能が含まれている.しかし当初からの周到なデザインにより,すべてのバージョン間でほぼ完全な互換性が保たれている.その結果,例えば1988年のバージョン1用に書かれたほとんどすべてのプログラムは,Mathematica バージョン7でもそのまま変更なしで走り,かつ実行速度も大いに向上している.(Mathematica バージョン1以降の非互換変更

この理想を,バージョン8以降でも大切にしてほしいものです。

MathematicaのSolveとReduceのバグ(10.2で修正)


10.2で修正されました。

Mathematica 10, 10.1のSolveとReduceには,ベクトルや行列が等しくないという条件を正しく扱えないという,かなり深刻なバグがあります。(製造元には報告済みです。)

例として,
x^2+y^2 == 1かつy == 1/Sqrt[2]
という方程式を
{x, y} != {-1/Sqrt[2], 1/Sqrt[2]}
という条件のもとで解きます。

Solve[And[
  x^2 + y^2 == 1,
  y == 1/Sqrt[2],
  {x, y} != {-1/Sqrt[2], 1/Sqrt[2]}],
 {x, y}]

Mathematica 9.0.1では
{x -> 1/Sqrt[2], y -> 1/Sqrt[2]}
という正しい解が得られます。

Mathematica 10.1では
解なし
という間違った結果になります。

いろいろ試してみると,Solveの中に書いた
{x, y} != {-1/Sqrt[2], 1/Sqrt[2]}
という条件が,
x != -1/Sqrt[2] || y != 1/Sqrt[2]
ではなく,
x != -1/Sqrt[2] && y != 1/Sqrt[2]
と解釈されているようです。

Reduceでも同じ問題が起こります。

Reduce[{x, y} != {0, 0}, {x, y}]

Mathematica 9.0では
x!=0 || y!=0
という正しい解が得られます。

Mathematica 10.1では
x!=0 && y!=0
という間違った解が得られます。

というわけで,Mathematica 10.1では,SolveやReduceの中に,ベクトルや行列が等しくないという条件は書けません。とりあえずの解決策は,Or[x != 0, y != 0]のように成分ごとに書くことですが,これでは2次元限定ですし,そもそもMathematicaで成分を書いたら負けな気がするので,「例えば,Mathematica 10.1を避ける」でも仕方ないでしょう。

製造元のウェブサイトには,「世界で最も信頼できる最新技術計算システム」とありますが,それはないと思います。

MathematicaのTeXFormのバグ


Mathematica 10.1, 10.2, 10.3, 10.4.1, 11.1.1 for Windows, 10.0 for Raspberry Pi

Mathematicaには,表現をTeX形式に変換するTeXFormがあります。たとえば,TeXForm[Integrate[f[x], x]]とすると「\int f(x) \, dx」を返してくれます。便利です。

しかし,バグがあります。

TeXForm[Abs[r + 1/2]]の結果が「\left\left| r+\frac{1}{2}\right\right|」になりますが,これはTeXで処理できません。正しくは「\left| r+\frac{1}{2}\right|」です。TeXForm[Abs[r]]なら「\left| r\right|」という正しい結果が返ります。

開発元には報告済みですが,今のところ手で直すしかありません。計算結果から自動的に論文を書かせるようなどと思うと困ったことになるでしょう。

素数はなぜ人を惹きつけるのか


4022736038竹内 薫『素数はなぜ人を惹きつけるのか』(朝日新聞出版, 2015)

p.181で紹介されていたアニメーションを作ってみました(コード)。オリジナルの完成度にはかないませんが。

1から60まで(1分)

1から600まで(10分)

p.34 図表3
「整数は自然数と0からなる」(負の整数が抜けています。)
p.43
「300万以下の素数」は「21万6745個」(21万6816個ではないでしょうか。)
p.121
「自明」なもの(証明できるもの)に公理(証明できないもの)を含めています。
p.172とp.182
音階の定義が混乱しています(平均律とピタゴラス音階)。民族音楽の「民族らしさ」は、振動数の微妙な違いによるもののほかに、使う音の違いによるものもあるのではないでしょうか(例:琉球音階)。

Raspberry Pi 2 ファーストインプレッション


B00T356SFO

  • Mathematicaのベンチマーク(WolframMark 10.0.2)
    • Raspberry Pi:1101秒
    • Raspberry Pi 2:304秒(Raspberry Piの3.6倍速い)
    • Core i7 4930K:7.463秒(Raspberry Pi 2の40倍速い)
  • とある計算
    • Raspberry Pi:2200秒
    • Raspberry Pi 2:792秒(Raspberry Piの2.8倍速い)
    • Core i7 4930K:60秒(Raspberry Pi 2の13倍速い)
  • MathematicaのParallel系のコードが無修正で動くようになったが、2コアしか使えない(CPUは4コア)
  • PythonでGPIOが使えない。(そのうち修正されるだろう。)とりあえずの対策:How To Fix Error Loading RPi.GPIO Python Library On Your Brand New Raspberry Pi 2
  • WebIOPiが使えない。(とりあえずの解決策(そのうち修正されるだろう。)
  • MathematicaでGPIOが使えない。(そのうち修正されるだろう。)