MathematicaのRegionPlotのバグ


10.3.1ではできたことが,

10.4でできなくなってしまいました(11.2もダメ)。(報告済み)

MathematicaのIntegrateのバグ


Mathematica 10.1, 10.2, 10.3, 10.4.1, 11.2の積分(Integrate)には,仮定の利用に関して,9.0や10.0には無かったバグがあります。(製造元には報告済みです。)

例として,Abs[(x + 1) (x - a) (x - 1)]-1 <= x <= 1で積分することを考えます。

Absの中にパラメータがaがありますが,これは実数だと仮定します。Integrateには,そういう仮定を与えるための便利なオプションAssumptionsがあります。

Integrate[Abs[(x + 1) (x - a) (x - 1)], {x, -1, 1}, 
 Assumptions -> Element[a, Reals]]

これで,a <= -1なら-4a/3a >= 1なら4a/3,それ以外つまり-1 < a < 1なら(-a^4 + 6a^2 + 3)/6と,aの値で場合分けされた結果が得られます。すばらしい。

しかし,仮定がうまく取り入れられない,取り入れられないならまだしも,仮定を使ったせいで間違った答えが出てきてしまうことがあります。

Integrate[Abs[(x + 1) (x - 2 a + b) (x - 1)], {x, -1, 1}, 
 Assumptions -> And[-1 < a < 1, b == a]]

Mathematicaの一部のバージョンでは1/2という結果になりますが,これは間違いです。b == aという仮定を考慮すると被積分関数は最初の例と同じになるので,積分結果は(-a^4 + 6a^2 + 3)/6にならなければなりません。

どういうわけか,Integrateの中に直接数式を書かなければうまくいきます。

f = Abs[(x + 1) (x - a) (x - 1)];
Integrate[f, {x, -1, 1}, 
 Assumptions -> And[-1 < a < 1, b == a]]

原因はよくわかりませんが,Assumptionsは怖くて使えません。

この積分は,Mathematica 9.0(Windows)や10.0(Raspberry Pi)では正しく行えただけに,10.1でできなくなって残念です。機能追加と品質保持の優先順位が間違っている気がします。

Mathematica の新バージョンには,常に多くの新しい機能が含まれている.しかし当初からの周到なデザインにより,すべてのバージョン間でほぼ完全な互換性が保たれている.その結果,例えば1988年のバージョン1用に書かれたほとんどすべてのプログラムは,Mathematica バージョン7でもそのまま変更なしで走り,かつ実行速度も大いに向上している.(Mathematica バージョン1以降の非互換変更

この理想を,バージョン8以降でも大切にしてほしいものです。

MathematicaのTeXFormのバグ


Mathematica 10.1, 10.2, 10.3, 10.4.1, 11.2

Mathematicaには,表現をTeX形式に変換するTeXFormがあります。たとえば,TeXForm[Integrate[f[x], x]]とすると「\int f(x) \, dx」を返してくれます。便利です。

しかし,バグがあります。

TeXForm[Abs[r + 1/2]]の結果が「\left\left| r+\frac{1}{2}\right\right|」になりますが,これはTeXで処理できません。正しくは「\left| r+\frac{1}{2}\right|」です。TeXForm[Abs[r]]なら「\left| r\right|」という正しい結果が返ります。

開発元には報告済みですが,今のところ手で直すしかありません。計算結果から自動的に論文を書かせるようなどと思うと困ったことになるでしょう。

MathematicaのFindShortestTourのバグ


先日CodeIQで、巡回セールスパースン問題を出題しました。

Mathematicaには、指定した点をすべて通る最短の巡回路を求める関数 FindShortestTour があるので、これを使えば簡単なはずでしたが、実はそこにはトラップがあったかもしれません。

追記:問題は3つありますが、Mathematica 10.4.1, 11.2で未解決なのは3番目のみです。

問題1(10.0.2 for Windowsで解決)

Mathematica 10.0.1 for Windowsでは、{{6, 2}, {4, 6}, {3, 4}, {6, 7}}という4点を通る最短巡回路を求められませんでした。

問題2(10.0 for Linux ARM (32-bit) (August 4, 2014)で解決)

10.0 for Linux ARM (32-bit) (January 29, 2014)の FindShortestTour は、仕様がマニュアルと違っていました。

pts = {{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 1}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 1}, {3, 2}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 1}, {4, 3}, {4, 5}, {5, 1}, {5, 2}, {5, 3}, {5, 4}};
FindShortestTour[%]

マニュアルによれば、巡回路の最初と最後は同じ(この例では1)はずなのですが、ここで得られる結果は「{14 + 5 Sqrt[2], {1, 2, 7, 3, 4, 5, 8, 12, 11, 15, 19, 14, 18, 17, 16, 13, 9, 10, 6}}」で、仕様とは違っていました。

問題3(10.4.1, 11.2 for Windowsで未解決)

1分待っても結果が返ってこない場合があります(Core i7-4930K)。(Wolfram/Alphaでは計算できたこともある

FindShortestTour[{{0, 0}, {1, 0}, {0, 1}, {1, 1}, {0, 536870913}}]

浮動小数点で近似値だけでも・・・と思っても、やはりダメな場合があります(カーネルが落ちます)。

FindShortestTour[{{1., 0}, {0, 1}, {6421482390570520, 4284269602932036}, {239817909316376, 7744567430237013}, {2528914430818969, 5966759469595075}}]

マニュアルでは見つけられませんでしたが、「Method -> "IntegerLinearProgramming"」を付けておくとうまくいくと、サポートから教えてもらいましたが、計算はできても結果が正しくない場合があります。(この例でオプションを外すとカーネルが落ちます。)

cities = {
 {12581820340729273, 10017935966728831},
 {12754218452664193, 14539145895971681},
 {14822745302277607, 14565274414261943},
 {11873373307008371, 9781014188323403},
 {16116822349097741, 15873203518310113},
 {12701673778654019, 11291535066125623},
 {9392560345300883, 14963106019249771},
 {11529795864075473, 17759422650313613},
 {9007199254742147, 18014398509483463},
 {9007199254742149, 18014398509483461}};
FindShortestTour[cities, Method -> "IntegerLinearProgramming"]

一部のバージョンでは、巡回路{1, 4, 7, 9, 10, 8, 5, 3, 2, 6, 1}が得られますが、正解は{1, 4, 7, 10, 9, 8, 5, 3, 2, 6, 1}です。

何も気にせず使えるようになるにはまだ時間がかかりそうです。

MathematicaのClusteringComponentsの困ったところ


Mathematica 9.0, 10.0, 10.1, 10.2, 10.3, 10.4.1, 11.2 for Microsoft Windows (64-bit)と10.0.0 for Linux ARM (32-bit)でのことです。

Mathematicaには、階層的クラスタリングができる関数が3つ用意されています。FindClustersAgglomerateClusteringComponentsです。

FindClustersにはバグがありました。(FindClustersのバグは11で解決)

Agglomerateにはバグがあります。

バグではありませんが、ClusteringComponentsにも困ったところがあります。データをn個のクラスタに分けたいと思ってClusteringComponents[array,n]としても、できるクラスタがnより少ないことがあるのです。マニュアルには「最高でn個のクラスタを求める」とあるので、nより少ないのはバグでは無いのですが、ちょうどn個のクラスタを作りたいときに使えないのは困ります。

次のコードで再現できます(UMM3でも動きます)。

data = Import["https://gist.github.com/taroyabuki/4996086/raw/be3b2d537a51b803790fa1149cc714663a8b6ee9/clustering_test_data2.csv"];

Length[Union[ClusteringComponents[data, 13, 1, DistanceFunction -> EuclideanDistance, Method -> "Optimize"]]]
(* 12 *)

13個のクラスタを作りたかったのですが、できたクラスタは12個でした。

データをシャッフルしてからならうまくいきます。

Length[Union[ClusteringComponents[RandomSample@data, 13, 1, DistanceFunction -> EuclideanDistance, Method -> "Optimize"]]]
(* 13 *)

というわけで、階層的クラスタリングをしたいときはRを使うのがよさそうです(参考)。