MathematicaのFindShortestTourのバグ


先日CodeIQで、巡回セールスパースン問題を出題しました。

Mathematicaには、指定した点をすべて通る最短の巡回路を求める関数 FindShortestTour があるので、これを使えば簡単なはずでしたが、実はそこにはトラップがあったかもしれません。

追記:問題は3つありますが、Mathematica 10.4.1, 11.2で未解決なのは3番目のみです。

問題1(10.0.2 for Windowsで解決)

Mathematica 10.0.1 for Windowsでは、{{6, 2}, {4, 6}, {3, 4}, {6, 7}}という4点を通る最短巡回路を求められませんでした。

問題2(10.0 for Linux ARM (32-bit) (August 4, 2014)で解決)

10.0 for Linux ARM (32-bit) (January 29, 2014)の FindShortestTour は、仕様がマニュアルと違っていました。

pts = {{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 1}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 1}, {3, 2}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 1}, {4, 3}, {4, 5}, {5, 1}, {5, 2}, {5, 3}, {5, 4}};
FindShortestTour[%]

マニュアルによれば、巡回路の最初と最後は同じ(この例では1)はずなのですが、ここで得られる結果は「{14 + 5 Sqrt[2], {1, 2, 7, 3, 4, 5, 8, 12, 11, 15, 19, 14, 18, 17, 16, 13, 9, 10, 6}}」で、仕様とは違っていました。

問題3(10.4.1, 11.2, 11.3 for Windowsで未解決)

1分待っても結果が返ってこない場合があります(Core i7-4930K)。(Wolfram/Alphaでは計算できたこともある

FindShortestTour[{{0, 0}, {1, 0}, {0, 1}, {1, 1}, {0, 536870913}}]

浮動小数点で近似値だけでも・・・と思っても、やはりダメな場合があります(カーネルが落ちます)。

FindShortestTour[{{1., 0}, {0, 1}, {6421482390570520, 4284269602932036}, {239817909316376, 7744567430237013}, {2528914430818969, 5966759469595075}}]

マニュアルでは見つけられませんでしたが、「Method -> "IntegerLinearProgramming"」を付けておくとうまくいくと、サポートから教えてもらいましたが、計算はできても結果が正しくない場合があります。(この例でオプションを外すとカーネルが落ちます。)

cities = {
 {12581820340729273, 10017935966728831},
 {12754218452664193, 14539145895971681},
 {14822745302277607, 14565274414261943},
 {11873373307008371, 9781014188323403},
 {16116822349097741, 15873203518310113},
 {12701673778654019, 11291535066125623},
 {9392560345300883, 14963106019249771},
 {11529795864075473, 17759422650313613},
 {9007199254742147, 18014398509483463},
 {9007199254742149, 18014398509483461}};
FindShortestTour[cities, Method -> "IntegerLinearProgramming"]

一部のバージョンでは、巡回路{1, 4, 7, 9, 10, 8, 5, 3, 2, 6, 1}が得られますが、正解は{1, 4, 7, 10, 9, 8, 5, 3, 2, 6, 1}です。

何も気にせず使えるようになるにはまだ時間がかかりそうです。

ドーナツを穴だけ残して食べる方法


4872594703大阪大学ショセキカプロジェクト『ドーナツを穴だけ残して食べる方法』(大阪大学出版会, 2014)(各章に参考文献リストあり・索引なし)

第1部全5章では、教員5名がドーナツの穴だけ残して食べる方法を、第2部の全7章では、教員7名がドーナツの穴に学ぶことを論じている。

私にとってのベストは大久保邦彦教授の「法律家は黒を白と言いくるめる?」で、末弘厳太郎「嘘の効用」(青空文庫にある)などの参考文献もちゃんと読みたいと思う。その一方で、ドーナツの穴とはあまり関係なさそうな話もいくつかあった。

本書は、学生が中心となって大阪大学の知を書籍化するというプロジェクトの成果物だという。書籍自体は学際的だが、個々のソリューションはそうではない。次は、各分野の英知を集めなければ解けない問題に取り組んでみてほしい。

さて、肝心のドーナツを穴だけ残して食べる方法だが、小さい虫数十匹を、ドーナツの表面を這って食べ、食べ終わったらそこにとどまるように調教すれば、その様子を見た人の中には「穴だけ残った」と思ってくれる人がいるのではないだろうか。

Unicodeのすべての文字を1回ずつ使って絵を描く


文字の並びで表現された絵は一般にアスキーアートと呼ばれます。その名前からは、使える文字がASCII文字に制限されているように思えますが、実際はそうではなく、なんでもありです。「MS Pゴシック」に含まれる文字を使うのが伝統でしょうか。

先日数えてみたように、Unicode 6.0にはGraphic Characterが109242個あります(参照:Unicodeのすべての文字を1ページで)。使える文字をここまで広げると、いわゆるアスキーアートのように文字の形を利用するのではなく、文字の濃さを利用して絵を描けます。(Graphic Charactersに印刷できない文字も含まれていることは、ここでは無視します。)

せっかくこれだけの文字があるので、それぞれの文字は1回しか使えないという制約を入れましょう。正方形のキャンバスなら、331 × 331のグリッド上に文字を並べることになります(331 x 331 = 109561は109242以上の最小の平方数)。ちょっと文字が足りないので、その分は半角スペースで補うことにします(109561 – 109242 = 319個)。

こんな絵が描けます(クリックで拡大、PDF 23MB)。

MathematicaのClusteringComponentsの困ったところ


Mathematica 9.0, 10.0, 10.1, 10.2, 10.3, 10.4.1, 11.2, 11.3 for Microsoft Windows (64-bit)と10.0.0 for Linux ARM (32-bit)でのことです。

Mathematicaには、階層的クラスタリングができる関数が3つ用意されています。FindClustersAgglomerateClusteringComponentsです。

FindClustersにはバグがありました。(FindClustersのバグは11で解決)

Agglomerateにはバグがあります。

バグではありませんが、ClusteringComponentsにも困ったところがあります。データをn個のクラスタに分けたいと思ってClusteringComponents[array,n]としても、できるクラスタがnより少ないことがあるのです。マニュアルには「最高でn個のクラスタを求める」とあるので、nより少ないのはバグでは無いのですが、ちょうどn個のクラスタを作りたいときに使えないのは困ります。

次のコードで再現できます。

data = Import["https://gist.github.com/taroyabuki/4996086/raw/be3b2d537a51b803790fa1149cc714663a8b6ee9/clustering_test_data2.csv"];

Length[Union[ClusteringComponents[data, 13, 1, DistanceFunction -> EuclideanDistance, Method -> "Optimize"]]]
(* 12 *)

13個のクラスタを作りたかったのですが、できたクラスタは12個でした。

データをシャッフルしてからならうまくいきます。

Length[Union[ClusteringComponents[RandomSample@data, 13, 1, DistanceFunction -> EuclideanDistance, Method -> "Optimize"]]]
(* 13 *)

というわけで、階層的クラスタリングをしたいときはRを使うのがよさそうです(参考)。

風景から歩行者が消えていく様子


先日紹介した「風景から歩行者を消す手軽な方法」は、動画の画素ごとに時間について平均をとると動いているものを消せるという話でした。

この方法について、(1)平均ではなく中央値や最頻値を使った方がいいのではないか、(2)シャッターを開きっぱなしにするのと同じではないかと言われたので、お答えしようと思います。(ネタを引きずるのはよくないのですが。)

(1)については、やっていることの意味からすればその通りです。しかし、中央値や最頻値は平均に比べて計算負荷が高いので(前記事の追記も参照)、動画という重いデータを扱う際には、そこにこだわるべきではないと思います。簡単なものをまず試し、できたらそれでよしとするわけです。例えば、ウェブカメラの画像を取得するCurrentImage[]を使って、先の話のリアルタイム版を作れるのですが、平均でやるなら次のように簡単です(Mathematica)。

t = 1;
accumu = ImageData[CurrentImage[]];
Dynamic[Refresh[Image[accumu/t], TrackedSymbols -> {t}]]
(*ここに動画が表示される*)
While[True,
  accumu += ImageData[CurrentImage[]];
  t++;
  Pause[0.1]];

いいウェブカメラがあれば、下のような動画が見られるはずです。(実時間だと速くてよくわからないので、最初の5秒を30秒に引き延ばしたのが冒頭の動画です。)

これを中央値や最頻値でやろうとすると、すぐにメモリがなくなるでしょう。最頻値の場合は数値の揺らぎの程度(あるいは数値を丸める必要の有無)も確認しなければなりません。

(2)の方法は知らなかったのですが、上のような動画を作るのはちょっと面倒なのではないでしょうか。