縦と横にしか動けない世界で(1994年東京大学入学試験理系数学第6問)


1994年の東京大学の入学試験、理系数学第6問は次のようなものでした。

平面上の2点P, Qに対し、PとQをx軸またはy軸に平行な線分からなる折れ線で結ぶときの経路の長さの最小値をd(P, Q)で表す。

(1) 原点O(0, 0)と点A(1, 1)に対し、
d(O, P)=d(P, A)を満たす点P(x, y)の範囲をxy平面上に図示せよ。

(2) 実数a>=0に対し、点Q(a, a^2+1)を考える。
次の条件(*)を満足する点P(x, y)の範囲をxy平面上に図示せよ。
(*) 原点O(0, 0)に対し、d(O, P)=d(P, Q)となるようなa>=0が存在する。

この問題は、d(O, P)=Abs[x]+Abs[y]であることがわかれば解けます。d(O, P)=Sqrt[x^2+y^2]ではありません。

Mathematicaで試します。

(*1*)
d[p_, q_] := Total[Abs[p - q]]
expr = d[{0, 0}, {x, y}] == d[{x, y}, {1, 1}];
cond = Reduce[expr, {x, y}, Reals];
reg = ImplicitRegion[cond, {x, y}];
RegionPlot[reg, PlotRange -> {{-2, 2}, {-2, 2}}]

(*2*)
expr = Exists[a, a >= 0,
   d[{0, 0}, {x, y}] == d[{x, y}, {a, a^2 + 1}]];
cond = Reduce[expr, {x, y}, Reals];
reg = ImplicitRegion[cond, {x, y}];
RegionPlot[reg, PlotRange -> {{-2, 2}, {-2, 2}}]

描画領域の境界にも実線が引かれている、という問題がありますが、とりあえずはこれでいいでしょう。

Mathematica 10.3.1と11.2, 11.3には,直線部分が描かれないというバグがあります(紛らわしいことに10.4, 11.0.1は大丈夫)。11.2以降なら,RegionImageを使うといいかもしれません。

RegionImage[reg, PlotRange -> {{-2, 2}, {-2, 2}}]

関連:数学まちがい大全集

コンピュータが仕事を奪う


4532316707新井紀子『コンピュータが仕事を奪う』(日本経済新聞出版社, 2010)(参考文献リスト無し・索引無し)

コンピュータに仕事を奪われないためには、コンピュータには難しいが人間ならできる、クラウドソーシングによって労働の単価が下がらないスキルを身につけておく必要がある。本書では、現時点でのその境界が、わかりやすい例を使って説明されている。計算はコンピュータに任せて「筋」がわかればよい「第二言語として数学が話せる能力」が推奨されているが(p.193)、それを身につければよい理由はもう少し説明がほしかった。プログラミング能力のほうがいいような気がするが、いずれにしても、それを身につけられない多くの人は、働かないと生きられない社会ではつらい状況に追い込まれるだろう。

細かいこと(第1版第1刷)

  • p.103 フェルマーの最終定理の式?
  • p.121 クラウドソーシングが可能でも、労働力は限られているため、必ずしも労働の単価が世界の最低賃金まで下がるわけではないと思う。
  • p.194 数独とクロスワードパズルの話では,数独というゲームの難しさを知っているかどうか(見積もれるかどうか)が大事ではある。囲碁とクロスワードパズルでも似たような話にはなるが,逆の結論になるかもしれない。

東大の教養、東工大の教養


大学における教養教育は、かつては重視され、一時衰退し、今また重視されるようになりつつあります。教養が重視されるのはとてもいいことですが、そもそも教養とは何か、教養教育では何を教えるかということになるといろんな考え方があります。例えば、東大で長年教養教育をしてきた斎藤兆史さんの『教養の力 東大駒場で学ぶこと』(集英社, 2013)と、東工大で教養教育を始めた池上彰さんの『池上彰の教養のススメ 東京工業大学リベラルアーツセンター篇』(日経BP社, 2014)を比べると、「教養教育」と言っても、その考え方は大学によって大きく異なることがわかります。

東大の教養

4087206858斎藤兆史『教養の力 東大駒場で学ぶこと』(集英社, 2013)(参考文献リストあり・索引なし)によれば、教養には(1)学問や知識それ自体、(2)学問や知識を吸収すること、(3)学問や・知識を吸収することによって備わる心の豊かさや理解力、人間的品格という3つの側面があり、(A)知的技術、(B)バランス感覚、(C)倫理・人格・善という3つの柱に支えられているそうです。

教養の修得は、教師の背中を見てのまねびによる部分もありますが、書物を通じてなされるのが基本だとして、『東大教師が新入生にすすめる本』(文藝春秋, 2004)『東大教師が新入生にすすめる本2』(文藝春秋, 2009)小林康夫・山本泰編『教養のためのブックガイド』(東京大学出版会, 2005)、『東大教師が新入生にすすめる本』で著者が推薦した3×3冊が紹介されています。

東工大の教養

4822274373池上彰『池上彰の教養のススメ 東京工業大学リベラルアーツセンター篇』(日経BP社, 2014)(参考文献リストなし・索引なし)は、冒頭で、小泉信三さんの「すぐに役に立つものは、すぐに役に立たなくなる」という言葉が引用されてはいますが、結局のところ、教養は何の役に立つのかということを、さまざまな側面から検討するものになっています。教養によってできることの例として、以下のようなものが挙げられています。ただし、「役に立つかどうかなんて、あとからついてくるおまけにすぎない」という注意もされています(p.52)。

  • 自ら問題を発見し、自ら答えを見つけてくるのには教養が必要(p.32)
  • ルールを作る側に回るには教養が必要(p.33)
  • 生物学(の教養)からあらゆる変化に対応する知恵を得られる(p.35)
  • 教養は「創造的」な力をもたらしてくれる(p.38)
  • (教養として)「歴史」を学べば「人間がわかる」(p.42)
  • (教養として)哲学を知れば、人とは何かがわかる(p.44)
  • (教養として)人間の非合理性を知ることで、真に合理的に行動し、決断できるようになる(p.47)
  • 教養がなければ魅力的な街を計画的に作ることはできない(p.49)

教養の修得には、自分の専門分野とまったく関係ない分野を学ぶこと(p.40)、本を沢山読むこと(p.41)などが有効だそうです。教師の背中はここでも重視されていますが、東工大・院生の「東工大の先生たちの持つ教養は?」という問いに、「いい質問ですねえ」と答えた池上さんには爆笑しました(p.89)。

ゴールの一つに「人間的品格」というわかりにくいものを挙げる斎藤さんの教養教育より、具体的なご利益をいろいろ挙げている池上さんの教養教育のほうがうけはいいのでしょう。しかし、教養の意義を見出すのは教養だと思うので、教える側が意義を考えている時点で教養教育ではなくなっているような気もします。とはいえ、池上さんの本の中には、私の教養の無さを思い知らされる話がたくさん載っていました。

学生に見せられる背中を持ちたいものです。

「人物評価」を重視する入学試験


政府の教育再生実行会議が、国公立大入試の2次試験から「1点刻みで採点する教科型ペーパー試験」を原則廃止する方向で検討するという。(毎日jp

日本のペーパー試験の大学入試はかなり厳密に行われていて、その結果は、社会からもかなり信用されている。だから、ペーパー試験の大学入試における不正行為に、社会はヒステリックに反応する。大学入試の結果への盲目的な信頼と、入試を通過しさえすればその後は比較的簡単だというよく知られた事実が両立しないからである。(例:大学入試問題ネット投稿事件

もし東大が、これまで行ってきたようなペーパー試験の2次試験を廃止して、面接だけで合否を決めるようなことになれば、大学入試への社会の信頼は揺らぐだろう。

これは悪いことではない。

大学入試の信頼度が下がれば、大卒を採用する企業は、大学名だけを見て志望者を選別することができなくなる。企業が学生のコミュニケーション能力以外の能力を真剣に測るようになれば、現状のようなよくわからない要求ではなく、「そちらの学生は具体的に何ができるの?」という現実的な要求が突きつけられるようになり、結果として、大学教育の質が向上するはずだ。悪くない。

というわけで、あまり評判の良くないペーパー試験廃止の方針にも、期待する要素はある。

ところで、東大入試が面接になったら、プロジェクト「ロボットは東大に入れるか」はどうなるのだろう。「チューリングテストにパスすること」との差別化はできるのだろうか。東大入試が変わる前にプロジェクトが成功して、そのせいで入試が変わらざるをえなくなる、というのが研究者の理想かもしれない。人工知能の研究で、日本社会が大きく変わるのだから。

「ポスドクからポストポスドクへ」


私は芥川賞を純文学の新人賞だと思っているので、すでにSF作家として広く認知されている円城塔さんが受賞したのにはちょっと不思議な感じがしました。まあ、円城塔さんの書きたいことを表現する方法として「SF」が最適かどうかはちょっと疑問があるので(SFの枠組みを広げているという言い方もできますが)、この受賞を機に読者層が広がって、もっとぴったりした方法をが見つかるかも、という期待はしています(僭越ながら)。

不可解な落選が過去にあったので、この受賞でみんなスッキリという効果もあるでしょうか(村上龍さんは選考会を欠席したそうですが)。

4150503648「円城塔」という名前の由来である、金子邦彦『カオスの紡ぐ夢の中で』が読まれて、金子さんの研究分野の周辺領域に興味を持つ人が増えると楽しいかも、と思っていたら、先に注目を浴びたのは、日本物理學會誌にかつて掲載された「ポスドクからポストポスドクへ」でした。あらあら。

アカデミズム版「政策より政局」みたいな話ではありますが、単純に言えば、

  • 若手の大学教員や研究者の一部、ポスドクと呼ばれる立場の人は「ワーキングプア」になっている。助手や助教はプアではないが、数年という短い任期が過ぎれば追い払われる立場にいる
  • (准)教授になってから時間が経った人の一部は、まともに教育・研究できないのはもちろん、もし首になったら再就職なんてとてもできない「使えないヤツ」になっている

ということなのですが、このような現実をこの芥川賞騒ぎの中で初めて知ったという大学生ももしかしたらいるかもしれません。大学院生がそうだととてもまずいでしょうね(あとで「自己責任」と言われるから気をつけて!)。

「ふだん偉そうにしている先生が実は・・・」ということを、時間的金銭的投資をしている学生たちはちゃんと知っておくといいでしょう。もちろん、それによって大学教員の権威は揺らぐわけですが、それくらいのことで話を聞いてもらえなくなる教員は、どうせたいしたことはないのです(ブーメランってやつです)。

『カオスの紡ぐ夢の中で』のほうが、やっぱり面白いですね。