ピタゴラス3体問題 (Burrau’s problem of three bodies)


機械で「心」を作る~「AIの父」ミンスキー氏が早稲田大学で講演

コンピュータサイエンスは重要だがコンピュータそのものが重要なわけではない、とミンスキー氏は強調した。それは解けない方程式があっても、コンピュータを使うことで何が起こるかを見る事ができるからだ。それがコンピュータがなく数学しかなかった時代との違いだとミンスキー氏はいわゆる「3体問題」など力学の問題を例に出して説明した。

「3体問題」の有名なものに、ピタゴラス3体問題があります。図のような3:4:5の直角三角形の頂点上に静止させた、質量3, 4, 5の質点の運動を調べるというものです。

天体力学のパイオニアたち―カオスと安定性をめぐる人物史〈上〉 (シュプリンガー数学クラブ) (単行本)この問題は1893年には知られていましたが、数値的にでさえ、解決は1966年になってからです。ディアク,ホームズ『天体力学のパイオニアたち』によれば、粒子の2つが連星を形成し、第3体が高速度ではじき飛ばされるという結論は、驚くべきものだったそうです。

これを数値的に解くのは、コンピュータ無しではまあ無理ですよね。「この問題をちゃんと解くのは大変ですよ」と言っていた天体力学の教授の言葉が思い出されますが、ちょうど、Mathematicaならケプラー問題の数値解を簡単に求められるという記事に対して、「でも、計算精度は大丈夫でしょうか」と訊かれたところだったので、コンピュータがあれば簡単だということを確認してみましょう。

必要な精度は状況によるので、絶対大丈夫とは言えませんが、たいていの場合には、十分よい精度で計算すると思います。有名なピタゴラス3体問題で調べてみましょう。

運動エネルギーとポテンシャルエネルギーから運動方程式を導き、数値的解きます。解く時は、保存量(全エネルギーと運動量、角運動量)が保存されるようにします(UMMでも計算できます)。

Wolfram CDF Playerがインストールされていれば操作できます。


計算の正しさを証明するものではありませんが、この結果はBurrau’s problem of three bodiesで紹介されているものとだいたいあっています。(リンク先にはこの問題を数値的に解いたSzebehelyの論文があります。)

最後に、保存量が実際に保存されているかどうかを見ておきましょう。

保存量の変化

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