MathematicaのNMinimize, NMinValueのバグ


Ver.11で修正されました。

Mathematica 9.0, 10.0, 10.1, 10.2, 10.3, 10.4.1 for Microsoft Windows (64-bit)と10.0.0 for Linux ARM (32-bit)でのことです。

a2 + c2 == 1, b2 + d2 == 1という条件の下で、次のような関数の最小値を求めたいとします。

Mathematicaには最大・最小を求めるためのさまざまな関数が用意されていますが、NMinimizeMinimizeNMinValueMinValueは、頭にNをつけるかどうかで、数値的な方法と解析的な方法を切り替えられて便利です。最小値とその時の各変数の値を知りたいときは[N]Minimize、最小値だけを知りたいときは[N]MinValueを使います。

しかし、ちょっとうまくいかない例に遭遇しました(UMMでも試せます)。バグが修正されたバージョンを受け取るために、プレミアユーザになっています。

問題その1

f1 = Sqrt[
 1 + 4 Sqrt[3] b c d + d^2 - 5 c^2 (-1 + d^2) + 
  2 a (-Sqrt[2] b d + Sqrt[6] c (-1 + d^2))];

NMinimize[{f1, a^2 + c^2 == 1 && b^2 + d^2 == 1}, {a, b, c, d}]

このように実行すると、

関数の値4.35271 +1.45672\ Iは{a,b,c,d} = {0.79784,1.52261,-0.444508,0.634251}において実数ではありません.

という警告とともに結果{1.22618, {a -> -0.82781, b -> 0.492467, c -> 0.224354, d -> -0.333602}}が返ります。このとき、a2 + c2は約0.74、b2 + d2は約0.35なので、与えた制約条件から大きくずれています。

問題その2

f2の最小値を求めようとしたときにも問題が起こります。

f2 = Sqrt[
  1 - 4 Sqrt[3] b c d + d^2 - 5 c^2 (-1 + d^2) + 
   2 a (-Sqrt[2] b d - Sqrt[6] c (-1 + d^2))];

NMinimize[{f2, a^2 + c^2 == 1 && b^2 + d^2 == 1}, {a, b, c, d}]

このように実行しても、入力がそのまま返ってくるだけで、まとも(?)な結果が得られません(間違った答えが返ってくるよりはましかもしれません)。

この問題は、WolframAlphaでも起こります(2015年5月17日確認)。

f1に関しては間違った結果が返ってきます(下はNMinValueの場合。NMinimizeでも同様)。

f2に関しては、珍しいことに、WolframAlphaは完全に沈黙します(下はNMinValueの場合。NMinimizeは違う結果になります)。

MathematicaからWolframAlphaに問い合わせたときはまた違う結果で、f2は解釈できないとのことでした。ほとんど同じf1は解釈できたので、そんなことはないと思うのですが。

そもそも、こういう関数の最小値を何の工夫もせずに得ようとするのが間違いなのかもしれませんが、あえて工夫をしないのにも理由があるのです。それについては別の機会に書きます。

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